设函数 $f(x)=ax^2-a-\ln x$，$g(x)=\dfrac1x-\dfrac{\mathrm{e}}{\mathrm{e}^x}$，其中 $a\in\mathbf{R}$，$\mathrm{e}=2.718\ldots$ 为自然对数的底数.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 证明：当 $x>1$ 时，$g(x)>0$； (3) 确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f(x)>g(x)$ 在区间 $(1,+\infty)$ 内恒成立.