在数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1 = 0$，且对任意 $k \in \mathbf{N}^{*}$，$a_{2k-1}$，$a_{2k}$，$a_{2k+1}$ 成等差数列，其公差为 $2k$.

(1) 证明 $a_4$，$a_5$，$a_6$ 成等比数列； (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式； (3) 记 $T_n = \frac{2^2}{a_2} + \frac{3^2}{a_3} + \cdots + \frac{n^2}{a_n}$，证明 $\frac{3}{2} < 2n - T_n \leqslant 2$（$n \geqslant 2$）.