已知 $a \geqslant 0$，函数 $f(x) = (x^2 - 2ax)\mathrm{e}^x$.

(1) 当 $x$ 为何值时，$f(x)$ 取得最小值？ 证明你的结论； (2) 设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是单调函数，求 $a$ 的取值范围.