如图，$P$ 为椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + y^2 = 1$ 上的一个动点，它与长轴端点不重合，$a \geqslant \sqrt{2}$，点 $F_1$ 和点 $F_2$ 分别是双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - y^2 = 1$ 的左焦点和右焦点，$\varphi = \angle F_1PF_2$.

(1) 求 $\tan\varphi$ 的表达式（用 $a$ 及描述点 $P$ 位置的一个变量来表示）. (2) 当 $a$ 固定时，求 $\varphi$ 的最小值 $\varphi_0$. (3) 当 $a$ 在区间 $[\sqrt{2}, \sqrt{3}]$ 上变化时，求 $\varphi_0$ 的取值范围.