如图，$O$ 为坐标原点，椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$） 的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，离心率为 $e_1$；双曲线 $C_2: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ 的左，右焦点分别为 $F_3$，$F_4$，离心率为 $e_2$. 已知 $e_1 e_2 = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $|F_2 F_4| = \sqrt{3} - 1$.

(1) 求 $C_{1}$，$C_{2}$ 的方程； (2) 过 $F_{1}$ 作 $C_{1}$ 的不垂直于 $y$ 轴的弦 $AB$，$M$ 为弦 $AB$ 的中点. 当直线 $OM$ 与 $C_{2}$ 交于 $P$，$Q$ 两点时，求四边形 $APBQ$ 面积的最小值.

\begin{solution} 设椭圆和双曲线的焦距参数分别为 $c=\sqrt{a^2-b^2}$，$d=\sqrt{a^2+b^2}$. 则 $e_1=\frac{c}{a}$，$e_2=\frac{d}{a}$，从而 $e_1^2+e_2^2=\frac{c^2+d^2}{a^2}=2$，$e_1^2e_2^2=\frac34$. 所以 $e_1^2$、$e_2^2$ 是方程 $u^2-2u+\frac34=0$ 的两个根，即 $\frac12$、$\frac32$. 由于椭圆离心率小于 $1$，有 $e_1=\frac{1}{\sqrt2}$，$e_2=\sqrt{\frac32}$. 又因为 $F_2=(c,0)$，$F_4=(d,0)$，所以 而 $e_2-e_1=\frac{\sqrt3-1}{\sqrt2}$，故 $a=\sqrt2$. 于是 $c=1$，$b^2=a^2-c^2=1$，即 $C_1:\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$C_2:\frac{x^2}{2}-y^2=1$.

第二问先设弦 $AB$ 的斜率为 $k$，由于题设排除了垂直于 $y$ 轴的水平弦，故 $k\ne0$. 直线方程为 $y=k(x+1)$. 与椭圆联立得 由根与系数的关系，弦中点为 因此直线 $OM$ 的方向向量可取 $(-2k,1)$. 令该直线上的点为 $(x,y)=t(-2k,1)$，代入 $C_2$ 得 由于题设要求有两个交点，必须有 $k^2>\frac12$，此时 设椭圆交点的横坐标之差的绝对值为 $|\Delta x|$. 由上面二次方程的判别式， 所以 四边形 $APBQ$ 的两条对角线为 $AB$、$PQ$，且交点为 $M$. 因此用向量行列式计算面积，注意 得到 有限斜率下 还需考虑 $AB\parallel y$ 轴的情形，此时弦为 $x=-1$，其中点为 $M=(-1,0)$，直线 $OM$ 为 $x$ 轴，与双曲线交于 $(-\sqrt2,0)$、$(\sqrt2,0)$. 此时 $AB=\sqrt2$，$PQ=2\sqrt2$，故 $S=2$. 因而四边形 $APBQ$ 面积的最小值为 $2$. \end{solution}

已知常数 $a > 0$，函数 $f(x) = \ln\left(1 + ax\right) - \frac{2x}{x + 2}$.

(1) 讨论 $f(x)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性； (2) 若 $f(x)$ 存在两个极值点 $x_{1}$，$x_{2}$，且 $f(x_{1}) + f(x_{2}) > 0$，求 $a$ 的取值范围.

\begin{solution} 函数定义域为 $\left(-\frac1a,+\infty\right)$，并且要排除 $x=-2$（当该点属于上述区间时）. 在 $(0,+\infty)$ 上， 在所讨论区间内分母恒为正.

当 $a\geqslant1$ 时，$ax^2+4a-4>0$，所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增. 当 $0<a<1$ 时，令分子为零，得 此时在 $0<x<x_0$ 上有 $f'(x)<0$，在 $x>x_0$ 上有 $f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 在 $\left(0,2\sqrt{\frac{1-a}{a}}\right)$ 上单调递减，在 $\left(2\sqrt{\frac{1-a}{a}},+\infty\right)$ 上单调递增.

若存在两个极值点，导数方程的两个根必须都在定义域内. 当 $0<a<1$ 时令 导数的两个零点为 $-t$、$t$. 当 $a\ne\frac12$ 时， 所以 $-t>-\frac1a$，且 $t\ne2$，故 $\pm t$ 均在定义域内；在定义域内除去可能的 $x=-2$ 后，分母为正，故 $f'(x)$ 的符号由 $a(x^2-t^2)$ 决定，$-t$ 处由正变负、$t$ 处由负变正，二者确为极值点. 当 $a=\frac12$ 时，$-t=-2$ 不在定义域内，只剩一个极值点. 因而存在两个极值点当且仅当 $0<a<1$ 且 $a\ne\frac12$. 计算函数值之和： 由 $t^2=4\frac{(1-a)}{a}$，可化为 当 $\frac12<a<1$ 时，令 $u=2a-1\in(0,1)$，上式为 函数 $\ln u+\frac{1}{u}-1$ 在 $(0,1)$ 上为正，因为其在 $u=1$ 的值为零，且导数 $\frac{(u-1)}{u^2}<0$. 因而此时函数值之和大于零.

当 $0<a<\frac12$ 时，令 $u=1-2a\in(0,1)$，上式为 所以满足条件的参数范围为 $a\in\left(\frac12,1\right)$. \end{solution}