已知函数 $f(x) = 4x^{3} - 3x^{2}\cos \theta + \frac{1}{32}$，其中 $x \in \mathbf{R}$，$\theta$ 为参数，且 $0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}$.

(1) 当 $\cos\theta = 0$ 时，判断函数 $f(x)$ 是否有极值； (2) 要使函数 $f(x)$ 的极小值大于零，求参数 $\theta$ 的取值范围； (3) 若对（2）中所求的取值范围内的任意参数 $\theta$，函数 $f(x)$ 在区间 $(2a - 1, a)$ 内都是增函数，求实数 $a$ 的取值范围.

如图，双曲线 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > 0$，$b > 0$）的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$，$F_1$，$F_2$ 分别为左，右焦点，$M$ 为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 $\overrightarrow{F_1M} \cdot \overrightarrow{F_2M} = -\frac{1}{4}$.

(1) 求双曲线的方程； (2) 设 $A(m,0)$ 和 $B\left(\frac{1}{m},0\right)$（$0 < m < 1$）是 $x$ 轴上的两点，过点 $A$ 作斜率不为 $0$ 的直线 $l$，使得 $l$ 交双曲线于 $C$，$D$ 两点，作直线 $BC$ 交双曲线于另一点 $E$. 证明：直线 $DE$ 垂直于 $x$ 轴.