已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_1 = x_2 = 1$，并且 $\frac{x_{n+1}}{x_n} = \lambda \frac{x_n}{x_{n-1}}$（$\lambda$ 为非零参数，$n = 2$，$3$，$4$，$\dots$）.

(1) 若 $x_1$，$x_3$，$x_5$ 成等比数列，求参数 $\lambda$ 的值； (2) 设 $0 < \lambda < 1$，常数 $k \in \mathbf{N}^*$ 且 $k \geqslant 3$，证明：$\frac{x_{1+k}}{x_1} + \frac{x_{2+k}}{x_2} + \cdots + \frac{x_{n+k}}{x_n} < \frac{\lambda^k}{1 - \lambda^k}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.