设函数 $f_n(x) = x^n + bx + c$（$n \in \mathbf{N}_+$，$b$，$c \in \mathbf{R}$）.

(1) 设 $n \geqslant 2$，$b = 1$，$c = -1$，证明：$f_n(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内存在唯一零点； (2) 设 $n$ 为偶数，$|f_n(-1)| \leqslant 1$，$|f_n(1)| \leqslant 1$，求 $b + 3c$ 的最小值和最大值； (3) 设 $n = 2$，若对任意 $x_1$，$x_2 \in [-1, 1]$，有 $|f_2(x_1) - f_2(x_2)| \leqslant 4$，求 $b$ 的取值范围.