已知曲线 $C_1: \frac{|x|}{a} + \frac{|y|}{b} = 1$（$a > b > 0$）所围成的封闭图形的面积为 $4\sqrt{5}$，曲线 $C_1$ 的内切圆半径为 $\frac{2\sqrt{5}}{3}$. 记 $C_2$ 为以曲线 $C_1$ 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.

(1) 求椭圆 $C_{2}$ 的标准方程； (2) 设 $AB$ 是过椭圆 $C_{2}$ 中心的任意弦，$l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线. $M$ 是 $l$ 上异于椭圆中心的点.

(i) 若 $|MO| = \lambda |OA|$（$O$ 为坐标原点），当点 $A$ 在椭圆 $C_2$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹方程； (ii) 若 $M$ 是 $l$ 与椭圆 $C_2$ 的交点，求 $\triangle AMB$ 的面积的最小值.