已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左焦点为 $F(-c, 0)$，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，点 $M$ 在椭圆上且位于第一象限，直线 $FM$ 被圆 $x^2 + y^2 = \frac{b^2}{4}$ 截得的线段的长为 $c$，$|FM| = \frac{4\sqrt{3}}{3}$.

(1) 求直线 $FM$ 的斜率； (2) 求椭圆的方程； (3) 设动点 $P$ 在椭圆上，若直线 $FP$ 的斜率大于 $\sqrt{2}$，求直线 $OP$（$O$ 为原点）的斜率的取值范围.