我们把由半椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$x \geqslant 0$）与半椭圆 $\frac{y^2}{b^2} + \frac{x^2}{c^2} = 1$（$x \leqslant 0$）合成的曲线称作“果圆”，其中 $a^2 = b^2 + c^2$，$a > 0$，$b > c > 0$. 如图，设点 $F_0$，$F_1$，$F_2$ 是相应椭圆的焦点，$A_1$，$A_2$ 和 $B_1$，$B_2$ 分别是“果圆”与 $x$，$y$ 轴的交点.

(1) 若 $\triangle F_0F_1F_2$ 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程； (2) 当 $\left|A_1A_2\right| > \left|B_1B_2\right|$ 时，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围； (3) 连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦. 试研究：是否存在实数 $k$，使斜率为 $k$ 的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的 $k$ 值；若不存在，说明理由.