设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左，右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，$A$ 是椭圆上的一点，$AF_2 \perp F_1F_2$. 原点 $O$ 到直线 $AF_1$ 的距离为 $\frac{1}{3}|OF_1|$.

(1) 证明 $a = \sqrt{2} b$. (2) 求 $t \in (0, b)$ 使得下述命题成立：设圆 $x^{2} + y^{2} = t^{2}$ 上任意点 $M(x_{0}, y_{0})$ 处的切线交椭圆于 $Q_{1}$，$Q_{2}$ 两点，则 $OQ_{1} \perp OQ_{2}$.