设函数 $f(x)=ax^3-(a+1)x^2+x$，$g(x)=kx+m$，其中 $a\ge 0$，$k$，$m\in \mathbf{R}$，若任意 $x\in[0,1]$ 均有 $f(x)\le g(x)$，则称函数 $y=g(x)$ 是函数 $y=f(x)$ 的控制函数，且对于所有满足条件的函数 $y=g(x)$ 在 $x$ 处取得的最小值记为 $\bar f(x)$.

(1) 若 $a=2$，$g(x)=x$，试问 $y=g(x)$ 是否为 $y=f(x)$ 的控制函数； (2) 若 $a=0$，使得直线 $y=h(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x=\frac14$ 处的切线，证明：函数 $y=h(x)$ 为函数 $y=f(x)$ 的控制函数，并求 $\bar f\left(\frac14\right)$ 的值； (3) 若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$（$x_0\in(0,1)$）处的切线过点 $(1,0)$，且 $c\in[x_0,1]$，证明：当且仅当 $c=x_0$ 或 $c=1$ 时，$\bar f(c)=f(c)$.