如图，椭圆的中心为原点 $O$，长轴在 $x$ 轴上，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$，过左焦点 $F_{1}$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆于 $A$，$A'$ 两点，$|AA'| = 4$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 取垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 $P$，$P'$，过 $P$，$P'$ 作圆心为 $Q$ 的圆. 使椭圆上的其余点均在圆 $Q$ 外. 若 $PQ \perp P'Q$，求圆 $Q$ 的标准方程.

\begin{solution} 设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，（$a>b>0$） 焦距的一半为 $c$，则 $c^2=a^2-b^2$，且 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$b^2=a^2-c^2=\frac{a^2}{2}$.

\begin{enumerate} \item 过左焦点 $F_1(-c,0)$ 的垂线为 $x=-c$. 代入椭圆方程，弦端点的纵坐标满足 因此 解得 $b^2=8$，再由 $b^2=\frac{a^2}{2}$ 得 $a^2=16$. 所以椭圆的标准方程为

\item 设垂直于 $x$ 轴的直线为 $x=x_0$，其与椭圆的交点为 $P(x_0,y_0)$，$P'(x_0,-y_0)$，$y_0\ne0$. 由于圆过 $P$，$P'$，其圆心 $Q$ 在 $PP'$ 的垂直平分线上，而 $PP'$ 垂直于 $x$ 轴，所以可设 $Q(t,0)$，圆的半径为 $r$. 由 $PQ\perp P'Q$， 即 椭圆上的点 $M(x,y)$ 满足 $y^2=\frac{16-x^2}{2}$. 于是 由题意，除 $P$，$P'$ 外椭圆上的点均在圆外，所以当 $x=x_0$ 时上式在区间 $(-4,4)$ 内取得最小值 $0$. 对关于 $x$ 的二次式求导，得 由椭圆方程和上面两个等式， $y_0^2=\frac{16-x_0^2}{2}$，$(x_0-t)^2=y_0^2$， 从而 解得 $t^2=\frac{8}{3}$. 又 所以 $t=\pm\frac{2\sqrt{6}}{3}$，圆 $Q$ 的标准方程为 或 \end{enumerate} \end{solution}