设 $a > 0$，$a \neq 1$，$f(x) = \log_a\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right)$（$x \geqslant 1$）.

(1) 求函数 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 和这个反函数的定义域； (2) 记 $b_n = f^{-1}(n)$，$S_n = b_1 + b_2 + \cdots + b_n$，求证：当 $\frac{1}{2} < a < 2$ 时，对任意自然数 $n$，都有 $S_n < 2^n - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^n$.