记 $U=\{1,2,\cdots,100\}$. 对数列 $\{a_n\}$（$n\in\mathbf{N}^*$）和 $U$ 的子集 $T$，若 $T=\varnothing$，定义 $S_T=0$；若 $T=\{t_1,t_2,\cdots,t_k\}$，定义 $S_T=a_{t_1}+a_{t_2}+\cdots+a_{t_k}$. 例如：$T=\{1,3,66\}$ 时，$S_T=a_1+a_3+a_{66}$. 现设 $\{a_n\}$（$n\in\mathbf{N}^*$）是公比为 $3$ 的等比数列，且当 $T=\{2,4\}$ 时，$S_T=30$.

(1) 求 $\{a_n\}$ 的通项公式； (2) 对任意正整数 $k$（$1\le k\le100$），若 $T\subseteq\{1,2,\cdots,k\}$，求证：$S_T<a_{k+1}$； (3) 设 $C\subseteq U$，$D\subseteq U$，$S_C\ge S_D$，求证：$S_C+S_{C\cap D}\ge2S_D$.