对 $1$ 个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度（含污物体的清洁度定义为：$1 - \frac{\text{污物质量}}{\text{物体质量（含污物）}}$）为 $0.8$，要求洗完后的清洁度是 $0.99$. 有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；方案乙：两次清洗. 该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为 $a$（$1 \leqslant a \leqslant 3$）. 设用 $x$ 单位质量的水初次清洗后的清洁度是 $\frac{x + 0.8}{x + 1}$（$x > a - 1$），用 $y$ 单位质量的水第二次清洗后的清洁度是 $\frac{y + ac}{y + a}$，其中 $c$（$0.8 < c < 0.99$）是该物体初次清洗后的清洁度.

(1) 分别求出方案甲以及 $c = 0.95$ 时方案乙的用水量，并比较哪一种方案用水量较少； (2) 若采用方案乙，当 $a$ 为某定值时，如何安排初次与第二次清洗的用水量，使总用水量最少？并讨论 $a$ 取不同数值时对最少总用水量多少的影响.

已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，抛物线 $C_{2}: (y - m)^2 = 2px$（$p > 0$），且 $C_{1}$，$C_{2}$ 的公共弦 $AB$ 过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点.

(1) 当 $AB \perp x$ 轴时，求 $m$，$p$ 的值，并判断抛物线 $C_{2}$ 的焦点是否在直线 $AB$ 上； (2) 是否存在 $m$，$p$ 的值，使抛物线 $C_{2}$ 的焦点恰在直线 $AB$ 上？若存在，求出符合条件的 $m$，$p$ 的值；若不存在，请说明理由.