已知椭圆 $C_{1}: \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$，抛物线 $C_{2}: (y - m)^2 = 2px$（$p > 0$），且 $C_{1}$，$C_{2}$ 的公共弦 $AB$ 过椭圆 $C_{1}$ 的右焦点.

(1) 当 $AB \perp x$ 轴时，求 $m$，$p$ 的值，并判断抛物线 $C_{2}$ 的焦点是否在直线 $AB$ 上； (2) 是否存在 $m$，$p$ 的值，使抛物线 $C_{2}$ 的焦点恰在直线 $AB$ 上？若存在，求出符合条件的 $m$，$p$ 的值；若不存在，请说明理由.