已知动直线 $l$ 与椭圆 $C: \frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{2} = 1$ 交于 $P(x_1, y_1)$，$Q(x_2, y_2)$ 两不同点，且 $\triangle OPQ$ 的面积 $S_{\triangle OPQ} = \frac{\sqrt{6}}{2}$. 其中 $O$ 为坐标原点.

(1) 证明： $x_1^2 + x_2^2$ 和 $y_1^2 + y_2^2$ 均为定值； (2) 设线段 $PQ$ 的中点为 $M$，求 $|OM| \cdot |PQ|$ 的最大值； (3) 椭圆 $C$ 上是否存在三点 $D$，$E$，$G$，使得 $S_{\triangle DOE} = S_{\triangle ODG} = S_{\triangle OEG} = \frac{\sqrt{6}}{2}$；若存在，判断 $\triangle DEG$ 的形状；若不存在，请说明理由.