已知椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的一个顶点是 $\left( 2,0 \right)$，离心率为 $\frac{1}{2}$.

(1) 求 $E$ 的方程； (2) 过点 $A\left( 1,1 \right)$，斜率为 $k$（$k\neq \pm 1$）的直线交椭圆 $E$ 于 $B$，$C$ 两点，$B$ 关于 $y=x$ 的对称点为 $D$，$DC$ 交 $y=x$ 于 $Q$，若 $\left| S_{\triangle ABQ}-S_{\triangle ACQ} \right|=\frac{5}{8}$，求 $k$.