已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{2x} - 2t(\mathrm{e}^{x} + x) + x^{2} + 2t^{2} + 1$，$g(x) = \frac{1}{2} f'(x)$.

(1) 证明：当 $t < 2\sqrt{2}$ 时，$g(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数. (2) 对于给定的闭区间 $[a, b]$，试说明存在实数 $k$，当 $t > k$ 时，$g(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上是减函数. (3) 证明：$f(x) \geqslant \frac{3}{2}$.