已知函数 $f(x) = (ax^2 + bx + c)\mathrm{e}^x$ 在 $[0,1]$ 上单调递减且满足 $f(0) = 1$，$f(1) = 0$.

(1) 求 $a$ 的取值范围； (2) 设 $g(x) = f(x) - f'(x)$，求 $g(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值和最小值.