已知数列 $\{a_{n}\}$ 中的相邻两项 $a_{2k-1}$，$a_{2k}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - (3k + 2^{k})x + 3k \cdot 2^{k} = 0$ 的两个根，且 $a_{2k-1} \leqslant a_{2k}$（$k = 1$，$2$，$3$，$\dots$）.

(1) 求 $a_{1}$，$a_{3}$，$a_{5}$，$a_{7}$； (2) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $2n$ 项和 $S_{2n}$； (3) 记 $f(n) = \frac{1}{2}\left(\frac{|\sin n|}{\sin n} + 3\right)$，$T_n = \frac{(-1)^{f(2)}}{a_1a_2} + \frac{(-1)^{f(3)}}{a_3a_4} + \frac{(-1)^{f(4)}}{a_5a_6} + \cdots + \frac{(-1)^{f(n+1)}}{a_{2n-1}a_{2n}}$，求证：$\frac{1}{6} \leqslant T_n \leqslant \frac{5}{24}$（$n \in \mathbf{N}^*$）.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 方程 可因式分解为 所以 $a_{2k-1}$，$a_{2k}$ 是 $3k$，$2^k$ 中较小者和较大者. 依次取 $k=1$，$2$，$3$，$4$，得 $(a_1,a_2)=(2,3)$，$(a_3,a_4)=(4,6)$，$(a_5,a_6)=(8,9)$，$(a_7,a_8)=(12,16)$. 故 $a_1=2$，$a_3=4$，$a_5=8$，$a_7=12$. \item 每一对相邻项的和为 因此 \item 令 由于 $j$ 为正整数且 $\pi$ 为无理数，$\sin j\ne0$，所以 $\varepsilon_j$ 有定义且 $\lvert\varepsilon_j\rvert=1$. 又因为 $0<2<3<\pi<4<\dfrac{3\pi}{2}$，所以 $\sin2>0$，$\sin3>0$，$\sin4<0$，从而 $\varepsilon_2=\varepsilon_3=1$，$\varepsilon_4=-1$. 又 故 $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{\varepsilon_{k+1}}{3k2^k}$. 当 $n=1$ 时，$T_1=\dfrac16$；当 $n=2$ 时，$T_2=\dfrac16+\dfrac1{24}=\dfrac5{24}$. 当 $n\geqslant3$ 时，由 $\varepsilon_4=-1$，以及 可得 所以 $T_n<\dfrac5{24}$. 另一方面，对 $n\geqslant2$， 结合 $T_1=\dfrac16$ 和 $T_2=\dfrac5{24}$，得到 \end{enumerate} \end{solution}

设 $f(x) = \frac{x^3}{3}$，对任意实数 $t$，记 $g_t(x) = t^{\frac{2}{3}}x - \frac{2}{3}t$.

(1) 求函数 $y = f(x) - g_8(x)$ 的单调区间； (2) 求证：

① 当 $x > 0$ 时，$f(x) \geqslant g_t(x)$ 对任意实数 $t$ 成立； ② 有且仅有一个正实数 $x_0$，使得 $g_8(x_0) \geqslant g_t(x_0)$ 对任意实数 $t$ 成立.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $h(x)=f(x)-g_8(x)$. 因为 $8^{\frac{2}{3}}=4$，所以 $h(x)=\frac{x^3}{3}-4x+\frac{16}{3}$，$h'(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$. 当 $x<-2$ 或 $x>2$ 时，$h'(x)>0$；当 $-2<x<2$ 时，$h'(x)<0$. 因此，$y=f(x)-g_8(x)$ 在 $(-\infty,-2]$ 和 $[2,+\infty)$ 上单调递增，在 $[-2,2]$ 上单调递减. \item 题设中参数 $t$ 取任意实数. 在实数范围内，若 $t=-s$ 且 $s>0$，则 \begin{enumerate} \item 取 $x=1$，$t=-1$，则 $f(1)=\frac13$，$g_{-1}(1)=1+\frac23=\frac53$， 所以 $f(1)<g_{-1}(1)$，题面所述的“不论 $t$ 为何实数”命题不成立. \item 对任意正实数 $x_0$，令 $t=-s$，则 $g_{-s}(x_0)=s^{\frac{2}{3}}x_0+\frac23s\longrightarrow+\infty$，$(s\longrightarrow+\infty)$ 而 $g_8(x_0)=4x_0-\dfrac{16}{3}$ 是定值. 因此不存在正实数 $x_0$，使 $g_8(x_0)\geqslant g_t(x_0)$ 对任意实数 $t$ 成立. \end{enumerate} 因此，按题设“任意实数 $t$”理解，第二问的两个待证命题均不成立；若题面原意是“任意正实数 $t$”，则需另行讨论. \end{enumerate} \end{solution}