设 $f(x) = \frac{x^3}{3}$，对任意实数 $t$，记 $g_t(x) = t^{\frac{2}{3}}x - \frac{2}{3}t$.

(1) 求函数 $y = f(x) - g_8(x)$ 的单调区间； (2) 求证：

① 当 $x > 0$ 时，$f(x) \geqslant g_t(x)$ 对任意实数 $t$ 成立； ② 有且仅有一个正实数 $x_0$，使得 $g_8(x_0) \geqslant g_t(x_0)$ 对任意实数 $t$ 成立.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 令 $h(x)=f(x)-g_8(x)$. 因为 $8^{\frac{2}{3}}=4$，所以 $h(x)=\frac{x^3}{3}-4x+\frac{16}{3}$，$h'(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$. 当 $x<-2$ 或 $x>2$ 时，$h'(x)>0$；当 $-2<x<2$ 时，$h'(x)<0$. 因此，$y=f(x)-g_8(x)$ 在 $(-\infty,-2]$ 和 $[2,+\infty)$ 上单调递增，在 $[-2,2]$ 上单调递减. \item 题设中参数 $t$ 取任意实数. 在实数范围内，若 $t=-s$ 且 $s>0$，则 \begin{enumerate} \item 取 $x=1$，$t=-1$，则 $f(1)=\frac13$，$g_{-1}(1)=1+\frac23=\frac53$， 所以 $f(1)<g_{-1}(1)$，题面所述的“不论 $t$ 为何实数”命题不成立. \item 对任意正实数 $x_0$，令 $t=-s$，则 $g_{-s}(x_0)=s^{\frac{2}{3}}x_0+\frac23s\longrightarrow+\infty$，$(s\longrightarrow+\infty)$ 而 $g_8(x_0)=4x_0-\dfrac{16}{3}$ 是定值. 因此不存在正实数 $x_0$，使 $g_8(x_0)\geqslant g_t(x_0)$ 对任意实数 $t$ 成立. \end{enumerate} 因此，按题设“任意实数 $t$”理解，第二问的两个待证命题均不成立；若题面原意是“任意正实数 $t$”，则需另行讨论. \end{enumerate} \end{solution}