已知函数 $f(x)=\ln(1+x)-x+\frac12x^2-kx^3$，其中 $0<k<\frac13$.

(1) 证明：$f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 存在唯一的极值点和唯一的零点； (2) 设 $x_1$，$x_2$ 分别为 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 的极值点和零点.

(i) 设函数 $g(t)=f(x_1+t)-f(x_1-t)$，证明：$g(t)$ 在区间 $(0,x_1)$ 单调递减； (ii) 比较 $2x_1$ 与 $x_2$ 的大小，并证明你的结论.