已知函数 $y=f(x)$ 的图象是自原点出发的一条折线. 当 $n\leqslant y\leqslant n+1$（$n=0$，$1$，$2$，$\cdots$）时，该图象是斜率为 $b^n$ 的线段（其中正常数 $b\neq 1$），设数列 $\{x_n\}$ 由 $f(x_n)=n$（$n=1$，$2$，$\cdots$）定义.

(1) 求 $x_1$，$x_2$ 和 $x_n$ 的表达式； (2) 求 $f(x)$ 的表达式，并写出其定义域； (3) 证明：$y=f(x)$ 的图象与 $y=x$ 的图象没有横坐标大于 $1$ 的交点.