设数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = pn + q$（$n \in \mathbf{N}^{*}$，$p > 0$）. 数列 $\{b_{m}\}$ 定义如下：对于正整数 $m$，$b_{m}$ 是使得不等式 $a_{n} \geqslant m$ 成立的所有 $n$ 中的最小值.

(1) 若 $p = \frac{1}{2}$，$q = -\frac{1}{3}$，求 $b_{3}$； (2) 若 $p = 2$，$q = -1$，求数列 $\{b_m\}$ 的前 $2m$ 项和公式； (3) 是否存在 $p$ 和 $q$，使得 $b_{m} = 3m + 2$（$m \in \mathbf{N}^{*}$）？ 如果存在，求 $p$ 和 $q$ 的取值范围；如果不存在，请说明理由.