已知椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$F_1$，$F_2$ 是其左，右焦点，直线 $l$ 过点 $P(m,0)$（$m\le -\sqrt2$），交椭圆于 $A$，$B$ 两点，且 $A$，$B$ 在 $x$ 轴上方，点 $A$ 在线段 $BP$ 上.

(1) 若 $B$ 是上顶点，$\left| \overrightarrow{BF_1} \right|=\left| \overrightarrow{PF_1} \right|$，求 $m$ 的值； (2) 若 $\overrightarrow{F_1A}\cdot \overrightarrow{F_2A}=\frac13$，且原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{15}}{15}$，求直线 $l$ 的方程； (3) 证明：对于任意 $m<-\sqrt2$，使得 $\overrightarrow{F_1A}\parallel \overrightarrow{F_2B}$ 的直线有且仅有一条.

已知 $x_1$，$x_2\in \mathbf{R}$，若对任意的 $x_2-x_1\in S$，$f(x_2)-f(x_1)\in S$，则有定义：$f(x)$ 是在 $S$ 关联的.

(1) 判断和证明 $f(x)=2x-1$ 是否在 $[0,+\infty)$ 关联？是否有 $[0,1]$ 关联？ (2) 若 $f(x)$ 是在 $\{3\}$ 关联的，$f(x)$ 在 $x\in[0,3)$ 时，$f(x)=x^2-2x$，求解不等式 $2\le f(x)\le 3$； (3) 证明：$f(x)$ 是 $\{1\}$ 关联的，且是在 $[0,+\infty)$ 关联的，当且仅当“$f(x)$ 在 $[1,2]$ 是关联的”.