已知椭圆 $\Gamma:\frac{x^2}{2}+y^2=1$，$F_1$，$F_2$ 是其左，右焦点，直线 $l$ 过点 $P(m,0)$（$m\le -\sqrt2$），交椭圆于 $A$，$B$ 两点，且 $A$，$B$ 在 $x$ 轴上方，点 $A$ 在线段 $BP$ 上.

(1) 若 $B$ 是上顶点，$\left| \overrightarrow{BF_1} \right|=\left| \overrightarrow{PF_1} \right|$，求 $m$ 的值； (2) 若 $\overrightarrow{F_1A}\cdot \overrightarrow{F_2A}=\frac13$，且原点 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $\frac{4\sqrt{15}}{15}$，求直线 $l$ 的方程； (3) 证明：对于任意 $m<-\sqrt2$，使得 $\overrightarrow{F_1A}\parallel \overrightarrow{F_2B}$ 的直线有且仅有一条.