已知函数 $f(x) = x^3 + x^2$，数列 $\{x_n\}$（$x_n > 0$）的第一项 $x_1 = 1$，以后各项按如下方式取定：曲线 $y = f(x)$ 在 $(x_{n+1}, f(x_{n+1}))$ 处的切线与经过 $(0,0)$ 和 $(x_n, f(x_n))$ 两点的直线平行（如图）. 求证：当 $n\in\mathbf{N}^*$ 时，

(1) $x_{n}^{2} + x_{n} = 3x_{n + 1}^{2} + 2x_{n + 1};$ (2) $\left(\frac{1}{2}\right)^{n - 1}\leqslant x_n\leqslant \left(\frac{1}{2}\right)^{n - 2}$.