已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{-x}\left(\cos x + \sin x\right)$. 将满足 $f'(x) = 0$ 的所有正数 $x$ 从小到大排成数列 $\{x_n\}$.

(1) 证明数列 $\{f(x_n)\}$ 为等比数列； (2) 记 $S_{n}$ 是数列 $\{x_n f(x_n)\}$ 的前 $n$ 项和，求 $\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{S_1 + S_2 + \cdots + S_n}{n}$.