已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$）的两个焦点分别为 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率； (2) 设过点 $A(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$，$N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\frac{2}{|AQ|^2} = \frac{1}{|AM|^2} + \frac{1}{|AN|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程.