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10
函数与初等函数
★★★★★
设函数
f
(
x
)
=
e
x
+
x
−
a
f(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x + x - a}
f
(
x
)
=
e
x
+
x
−
a
（
a
∈
R
a \in \mathbf{R}
a
∈
R
，
e
\mathrm{e}
e
为自然对数的底数）. 若曲线
y
=
sin
x
y = \sin x
y
=
sin
x
上存在
(
x
0
,
y
0
)
(x_0, y_0)
(
x
0
,
y
0
)
使得
f
(
f
(
y
0
)
)
=
y
0
f(f(y_0)) = y_0
f
(
f
(
y
0
))
=
y
0
，则
a
a
a
的取值范围是（ ）
A.
[
1
,
e
]
[1, \mathrm{e}]
[
1
,
e
]
B.
[
e
−
1
−
1
,
1
]
[\mathrm{e}^{-1} - 1, 1]
[
e
−
1
−
1
,
1
]
C.
[
1
,
1
+
e
]
[1, 1 + \mathrm{e}]
[
1
,
1
+
e
]
D.
[
e
−
1
−
1
,
e
+
1
]
[\mathrm{e}^{-1} - 1, \mathrm{e} + 1]
[
e
−
1
−
1
,
e
+
1
]
2013 · 四川 · 理 · 第 10 题 · 选择题
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21
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
{
x
2
+
2
x
+
a
,
x
<
0
,
ln
x
,
x
>
0
,
f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x + a, & x < 0,\\ \ln x, & x > 0, \end{cases}
f
(
x
)
=
{
x
2
+
2
x
+
a
,
ln
x
,
x
<
0
,
x
>
0
,
其中
a
a
a
是实数. 设
A
(
x
1
,
f
(
x
1
)
)
A(x_1, f(x_1))
A
(
x
1
,
f
(
x
1
))
，
B
(
x
2
,
f
(
x
2
)
)
B(x_2, f(x_2))
B
(
x
2
,
f
(
x
2
))
为该函数图象上的两点，且
x
1
<
x
2
x_1 < x_2
x
1
<
x
2
.
(1) 指出函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调区间； (2) 若函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的图象在点
A
A
A
，
B
B
B
处的切线互相垂直，且
x
2
<
0
x_{2} < 0
x
2
<
0
，求
x
2
−
x
1
x_{2} - x_{1}
x
2
−
x
1
的最小值； (3) 若函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的图象在点 A，B 处的切线重合，求
a
a
a
的取值范围.
2013 · 四川 · 理 · 第 21 题 · 解答题
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