设函数 $f(x) = \sqrt{\mathrm{e}^x + x - a}$ （$a \in \mathbf{R}$，$\mathrm{e}$ 为自然对数的底数）. 若曲线 $y = \sin x$ 上存在 $(x_0, y_0)$ 使得 $f(f(y_0)) = y_0$，则 $a$ 的取值范围是（ ）

已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$）的两个焦点分别为 $F_1(-1,0)$，$F_2(1,0)$，且椭圆 $C$ 经过点 $P\left(\frac{4}{3}, \frac{1}{3}\right)$.

(1) 求椭圆 $C$ 的离心率； (2) 设过点 $A(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$，$N$ 两点，点 $Q$ 是线段 $MN$ 上的点，且 $\frac{2}{|AQ|^2} = \frac{1}{|AM|^2} + \frac{1}{|AN|^2}$，求点 $Q$ 的轨迹方程.

已知函数 其中 $a$ 是实数. 设 $A(x_1, f(x_1))$，$B(x_2, f(x_2))$ 为该函数图象上的两点，且 $x_1 < x_2$.

(1) 指出函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 若函数 $f(x)$ 的图象在点 $A$，$B$ 处的切线互相垂直，且 $x_{2} < 0$，求 $x_{2} - x_{1}$ 的最小值； (3) 若函数 $f(x)$ 的图象在点 A，B 处的切线重合，求 $a$ 的取值范围.