在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$. $A$ 为 $\Gamma$ 的上顶点，$P$ 为 $\Gamma$ 上异于上，下顶点的动点，$M$ 为 $x$ 轴正半轴上的动点.

(1) 若 $P$ 在第一象限，且 $\lvert OP\rvert=\sqrt2$，求 $P$ 的坐标； (2) 设 $P\left(\dfrac85,\dfrac35\right)$，若以 $A$，$P$，$M$ 为顶点的三角形是直角三角形，求 $M$ 的横坐标； (3) 若 $\lvert MA\rvert=\lvert MP\rvert$，直线 $AQ$ 与 $\Gamma$ 交于另一点 $C$，且 $\overrightarrow{AQ}=2\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{PQ}=4\overrightarrow{PM}$，求直线 $AQ$ 的方程.