设定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对于任意的 $x_1$，$x_2\in\mathbf{R}$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)\le f(x_2)$.

(1) 若 $f(x)=ax^3+1$，求 $a$ 的取值范围； (2) 若 $f(x)$ 为周期函数，证明：$f(x)$ 是常值函数； (3) 设 $f(x)$ 恒大于零，$g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上，恒大于零的周期函数，$M$ 是 $g(x)$ 的最大值. 函数 $h(x)=f(x)g(x)$. 证明：“$h(x)$ 是周期函数”的充要条件是“$f(x)$ 是常值函数”.