已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_1: x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $A$，$B$.

(1) 求圆 $C_1$ 的圆心坐标； (2) 求线段 $AB$ 的中点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程； (3) 是否存在实数 $k$，使得直线 $L: y = k(x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点？若存在，求出 $k$ 的取值范围；若不存在，说明理由.

设 $a$ 为实数，函数 $f(x) = (x - a)^2 + |x - a| - a(a - 1)$.

(1) 若 $f(0) \leqslant 1$，求 $a$ 的取值范围； (2) 讨论 $f(x)$ 的单调性； (3) 当 $a \geqslant 2$ 时，讨论 $f(x) + \frac{4}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 内的零点个数.