已知函数 $f(x)=\ln\left(1+x\right)-\frac{x(1+\lambda x)}{1+x}$.

(1) 若 $x\geqslant0$ 时 $f(x)\leqslant0$，求 $\lambda$ 的最小值； (2) 设数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}$，证明：$a_{2n}-a_n+\frac{1}{4n}>\ln2$.