如图，已知椭圆 $C_1:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$，抛物线 $C_2:y^2=2px$（$p>0$），点 $A$ 是椭圆 $C_1$ 与抛物线 $C_2$ 的交点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C_1$ 于点 $B$，交抛物线 $C_2$ 于 $M$（$B$，$M$ 不同于 $A$）.

(1) 若 $p=\dfrac{1}{16}$，求抛物线 $C_2$ 的焦点坐标； (2) 若存在不过原点的直线 $l$ 使 $M$ 为线段 $AB$ 的中点，求 $p$ 的最大值.