已知 $1<a\le2$，函数 $f(x)=\mathrm{e}^x-x-a$，其中 $\mathrm{e}=2.71828\cdots$ 为自然对数的底数.

(1) 证明：函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有唯一零点； (2) 记 $x_0$ 为函数 $y=f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的零点，证明：

(i) $\sqrt{a-1}\le x_0\le\sqrt{2(a-1)}$； (ii) $x_0f(\mathrm{e}^{x_0})\ge(\mathrm{e}-1)(a-1)a$.