已知函数 $f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2$，其中 $a > 0$.

(1) 设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，讨论 $g(x)$ 的单调性； (2) 证明：存在 $a \in (0,1)$，使得 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，且 $f(x) = 0$ 在区间 $(1, +\infty)$ 内有唯一解.