设直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，与圆 $(x - 5)^{2} + y^{2} = r^{2}$（$r > 0$）相切于点 $M$，且 $M$ 为线段 $AB$ 的中点. 若这样的直线 $l$ 恰有 $4$ 条，则 $r$ 的取值范围是（ ）

已知函数 $f(x) = -2x\ln x + x^2 - 2ax + a^2$，其中 $a > 0$.

(1) 设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，讨论 $g(x)$ 的单调性； (2) 证明：存在 $a \in (0,1)$，使得 $f(x) \geqslant 0$ 恒成立，且 $f(x) = 0$ 在区间 $(1, +\infty)$ 内有唯一解.