已知函数 $f(x) = x^2 \ln x$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间； (2) 证明：对任意的 $t > 0$，存在唯一的 $s$，使 $t = f(s)$. (3) 设（2）中所确定的 $s$ 关于 $t$ 的函数为 $s = g(t)$，证明：当 $t > \mathrm{e}^2$ 时，有 $\frac {2}{5} < \frac {\ln g(t)}{\ln t} < \frac {1}{2}$.