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08
函数与初等函数
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
x
(
1
+
a
∣
x
∣
)
f(x) = x(1 + a|x|)
f
(
x
)
=
x
(
1
+
a
∣
x
∣
)
. 设关于
x
x
x
的不等式
f
(
x
+
a
)
<
f
(
x
)
f(x + a) < f(x)
f
(
x
+
a
)
<
f
(
x
)
的解集为
A
A
A
. 若
[
−
1
2
,
1
2
]
⊆
A
\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right] \subseteq A
[
−
2
1
,
2
1
]
⊆
A
，则实数
a
a
a
的取值范围是（ ）
A.
(
1
−
5
2
,
0
)
\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right)
(
2
1
−
5
,
0
)
B.
(
1
−
3
2
,
0
)
\left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, 0\right)
(
2
1
−
3
,
0
)
C.
(
1
−
5
2
,
0
)
∪
(
0
,
1
+
3
2
)
\left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}\right)
(
2
1
−
5
,
0
)
∪
(
0
,
2
1
+
3
)
D.
(
−
∞
,
1
−
5
2
)
\left(-\infty, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)
(
−
∞
,
2
1
−
5
)
2013 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题
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20
导数及其应用
★★★★★
已知函数
f
(
x
)
=
x
2
ln
x
f(x) = x^2 \ln x
f
(
x
)
=
x
2
ln
x
.
(1) 求函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的单调区间； (2) 证明：对任意的
t
>
0
t > 0
t
>
0
，存在唯一的
s
s
s
，使
t
=
f
(
s
)
t = f(s)
t
=
f
(
s
)
. (3) 设（2）中所确定的
s
s
s
关于
t
t
t
的函数为
s
=
g
(
t
)
s = g(t)
s
=
g
(
t
)
，证明：当
t
>
e
2
t > \mathrm{e}^2
t
>
e
2
时，有
2
5
<
ln
g
(
t
)
ln
t
<
1
2
\frac {2}{5} < \frac {\ln g(t)}{\ln t} < \frac {1}{2}
5
2
<
l
n
t
l
n
g
(
t
)
<
2
1
.
2013 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题
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