如图，$O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1}:\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} - \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$（$a_{1} > 0$，$b_{1} > 0$） 和椭圆 $C_{2}:\frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} + \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1$（$a_{2} > b_{2} > 0$） 均过点 $P\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},1\right)$，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 $2$ 的正方形.

(1) 求 $C_1$，$C_2$ 的方程； (2) 是否存在直线 $l$，使得 $l$ 与 $C_1$ 交于 $A$，$B$ 两点，与 $C_2$ 只有一个公共点，且 $\left|\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right| = \left|\overrightarrow{AB}\right|$，证明你的结论.