已知 $O(0,0)$，$B(1,0)$，$C(b,c)$ 是 $\triangle OBC$ 的三个顶点.

(1) 写出 $\triangle OBC$ 的重心 $G$，外心 $F$，垂心 $H$ 的坐标，并证明 $G$，$F$，$H$ 三点共线； (2) 当直线 $FH$ 与 $OB$ 平行时，求顶点 $C$ 的轨迹.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 因为三角形的三个顶点为 $O=(0,0)$、$B=(1,0)$、$C=(b,c)$，且三点不共线，所以 $c\ne0$. 由重心坐标公式， 外心 $F$ 在边 $OB$ 的垂直平分线 $x=\frac12$ 上，设 $F=\left(\frac12,y_F\right)$. 由 $FO=FC$，有 整理得 $2cy_F=b^2+c^2-b$，所以 因为 $OB$ 是水平线，过 $C$ 的高为 $x=b$. 设垂心为 $H=(b,y_H)$，又因 $OH\perp BC$，故 即 $b(b-1)+cy_H=0$，从而 再计算得 于是 $H-F=3(G-F)$，所以 $G$、$F$、$H$ 三点共线. \item 由于 $OB$ 平行于 $x$ 轴，且 $FH$ 为水平线，必须有 化简得 $c^2=3b(1-b)$，即 因此顶点 $C(b,c)$ 的轨迹是椭圆 $\left(b-\frac12\right)^2+\frac{c^2}{3}=\frac14$. 三角形非退化要求 $C\ne O$，$B$，而在 $b=\frac12$、$c=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时三角形为正三角形，恰有 $F=H$，直线 $FH$ 不确定，所以还应去掉这四个点：$O=(0,0)$、$B=(1,0)$、$\left(\frac12,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$、$\left(\frac12,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. \end{enumerate} \end{solution}