已知双曲线的中心在原点，右顶点为 $A(1, 0)$，点 $P$，$Q$ 在双曲线的右支上，点 $M(m, 0)$ 到直线 $AP$ 的距离为 $1$.

(1) 若直线 $AP$ 的斜率为 $k$，且 $\left|k\right| \in \left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]$，求实数 $m$ 的取值范围； (2) 当 $m = \sqrt{2} + 1$ 时，$\triangle APQ$ 的内心恰好是点 $M$，求此双曲线的方程.