设椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）的左、右焦点分别为 $F_1$，$F_2$，点 $D$ 在椭圆上，$DF_1 \perp F_1F_2$，$\frac{|F_1F_2|}{|DF_1|} = 2\sqrt{2}$，$\triangle DF_1F_2$ 的面积为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求该椭圆的标准方程； (2) 是否存在圆心在 $y$ 轴上的圆，使圆在 $x$ 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.