已知 $A_{n}(a_{n}, b_{n})$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）是曲线 $y = \mathrm{e}^{x}$ 上的点，$a_{1} = a$，$S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $S_{n}^{2} = 3n^{2}a_{n} + S_{n-1}^{2}$，$a_{n} \neq 0$，$n = 2$，$3$，$4$，$\cdots$.

(1) 证明：数列 $\left\{\frac{b_{n+2}}{b_n}\right\}$（$n \geqslant 2$）是常数数列； (2) 确定 $a$ 的取值集合 $M$，使 $a \in M$ 时，数列 $\{a_n\}$ 是单调递增数列； (3) 证明：当 $a \in M$ 时，弦 $A_{n} A_{n+1}$（$n \in \mathbf{N}^{*}$）的斜率随 $n$ 单调递增.