已知双曲线 $C: \frac{x^2}{2} - y^2 = 1$，设过点 $A(-3\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 的方向向量 $\boldsymbol{e} = (1, k)$.

(1) 当直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线 $m$ 平行时，求直线 $l$ 的方程及 $l$ 与 $m$ 的距离； (2) 证明：当 $k > \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，在双曲线 $C$ 的右支上不存在点 $Q$，使之到直线 $l$ 的距离为 $\sqrt{6}$.